Comme les arabes et les turcs puis les ottomans, les mongols se sentaient en effet comme supérieurs à toute autre civilisation et s'associer ne pouvait que passer dans leur esprit par une reconnaissance de leur primauté en se déclarant vassal. Les commerçants chrétiens l'acceptaient pour pouvoir s'installer au moyen-orient et faire de l'import-export (fer, esclaves, laine, armes ..) mais pour le Pape, le problème était plus compliqué.

Une autre question que je me pose. Mais par contre là, je crois avoir la réponse. L'enjeu principal de la première croisade etait-il de reprendre les lieux saints et/ou d’ éliminer l’ hérésie musulmane.

Les Croisades ont fait l'objet de malentendus qui en ont gravement dénaturé le sens véritable.
Pour commencer, une remarque assez surprenante, il serait avéré que le mot de "Croisade" n'aurait pas été employé avant le XVI èsiècle, il ne figure dans aucun document. Se croiser veut alors dire prendre la croix et pas aller combattre.
Pas davantage, le but des expéditions en terre sainte n'etait de partir pour combattre l'Islam, une religion qu'on ne connait pas d'ailleurs. Ceux qui partent vont plutôt libérer les lieux saints comme l'empereur byzantin Alexis Commène en a formulé la demande; lieux saints qui ne seraient plus accessibles (par la terre). On part aussi pour soutenir les chrétiens d'orient dont on dit qu'ils sont persécutés.
On comprend mieux dès lors les fameuses "Croisades" des enfants ou des pauvres gens, par exemple, si on sait qu'il ne s'agit pas de partir à la guerre contre l' Islam mais d'aller sur les lieux saints comme des pèlerins à l'invitation de papes qui jamais n'emploient le mot de croisade ni le sens guerrier qu'on lui donne aujourd'hui! J'avoue avoir enfin compris pourquoi ces enfants et ces foules prenaient la route. On n'allait pas à la guerre!
On voit mieux aussi pourquoi les pèlerins vers le tombeau du Christ partaient en abandonnant leurs biens et leur famille. Le but du voyage était religieux. La référence est l'évangile: quitte ta famille et tes biens dit le Christ et suis moi.
De même s'expliquent les mécomptes des expéditions. Si elles avaient été préparées comme des guerres à un ennemi musulman, des armées constituées bien plus dangereuses pour les musulmans et pas des foules encadrées par des militaires pour les protéger durant le voyage, auraient été transportées. Musulman, un mot jamais prononcé dans les textes de l'époque sur les croisades précise Jacques Heers. Pas plus que celui Mahomet!
L'esprit des "croisades" a donc été dénaturé faisant d'expéditions vers les lieux saints des entreprises de guerre à l'islam ou aux musulmans totalement étrangeres à l'époque.
Il y a là certainement matière à discussion !

Vu que les croisés étaient en vente villégiature, je dois comprendre que le massacre à l'intérieur de Jérusalem à partir du 15 juillet et un malencontreux dérapage fortuit ? Alain, merci de vos réponses

De même s'expliquent les mécomptes des expéditions. Si elles avaient été préparées comme des guerres à un ennemi musulman, des armées constituées bien plus dangereuses pour les musulmans et pas des foules encadrées par des militaires pour les protéger durant le voyage, auraient été transportées.