On est un peu en train de tout mélanger, déjà, faute de quantitatif. Il est évident que le chargement (le nombre de bestiaux à l'hectare) change tout. Des chèvres peuvent paître en sous-bois, ou tout ratiboiser jusqu'à provoquer une désertification, même chose pour les autres, c'est avant tout une question de densité, et il a fallu quelque temps avant que les pasteurs néolithiques n'atteignent de tels seuils sur des surfaces significatives.
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En fait, il me semble qu'avant l'arrivée de troupeaux de chèvres et de moutons de nombreuses régions étaient couvertes de forêts.
Globalement oui et pourtant il existait de grands herbivores qui entretenaient, eux aussi, des prairies. Davantage d'espèces de ce genre auraient vraisemblablement survécu si l'homme n'en avait fait ses cibles prioritaires à la fin du Paléolithique - perpétuant ses habitudes. On aurait alors probablement eu des paysages plus variés au Mésolithique.
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Ceci étant, le pacage des troupeaux en haute montagne ne nuit apparemment pas à l'environnement et doit même lui apporter quelque chose puisqu'il est autorisé jusque dans les Parc Nationaux et les zones protégées. Pas de chèvres, cependant, ou très peu et en petit nombre.
Il y a eu dans les Alpes de gros problèmes de surpâturage à la fin du XVIIIe - début XIXe notamment, qui ont donné ces formes d'érosion dans les Alpes du Sud - ces trucs, là :

Dans l'ensemble, si l'homme n'avait jamais adopté la pratique de l'alpage/estive, les pelouses alpines auraient une extension bien moindre et la forêt remonterait un peu plus haut. Aujourd'hui, même si le pâturage disparaissait, le vent limiterait fortement la reconstitution de la forêt. C'est ce qui se passe sur les Hautes Chaumes du Forez où le pâturage a disparu et où on a envisagé de reboiser. Le vent est le plus fort. (Et comme les Hautes Chaumes ont un intérêt écologique, il n'y a vraiment aucune raison de s'escrimer à vouloir réenrésiner artificiellement ce bout de territoire, donc on laisse). Les troupeaux entretiennent les alpages en l'état d'alpages, oui, certes, puisque les chargements sont trop faibles pour atteindre le seuil de surpâturage, et les pelouses alpines sont certes un milieu intéressant. Mais si à la place on avait des surfaces un peu plus importantes de forêt très clairsemée de pins rabougris, cela ne serait pas spécialement plus mauvais sur le plan écologique. Le débat ne se place donc pas vraiment là. Fin de la parenthèse...